Question

Докажите, что 1 + 2 + 3 + ⋯ + (2 − 1) делится на (2 − 1) при любом натуральном .

Answer 1

Выражение представляет собой сумму 2 − 1 последовательных натуральных чисел, последнее число нечетное.
Без последнего числа (2 − 1) в сумме четное число слагаемых. Разобьем их на пары крайних, то есть 1 и (2 − 2), 2 и (2 − 3) и т.д. Сумма в каждой паре равна (2 − 1). Тогда сумма 1 + 2 + 3 + ⋯ + (2 − 2) = (2 − 1), где  – натуральное число (количество пар), то есть эта сумма делится на (2 − 1).
Значит, выражение 1 + 2 + 3 + ⋯ + (2 − 1) = (2 − 1) + (2 − 1) = (2 − 1)( + 1) делится на (2 − 1).