Question

Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин этого четырехугольника минимальна

Answer 1

Это точка пересечения диагоналей этого четырехугольника. Докажем, что сумма расстояний от любой другой точки до вершин четырехугольника будет больше.
Пусть М - точка пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника АВСD, N - точка внутри этого четырехугольника, не совпадающая с М.
В треугольнике АСN по неравенству треугольника AN+CN≥AC, то есть
AN+CN≥AM+CM.
В треугольнике BDN по неравенству треугольника BN+DN≥BD, то есть
BN+DN≥BM+MD.
Знак ≥ поставлен потому, что точка N может лежать на одной из диагоналей. При этом заметим, что если одно неравенство выполняется как равенство (точка N лежит на соответствующей диагонали), то другое неравенство выполняется как строгое  равенство.
Таким образом, получаем AN+CN+ BN+DN> AM+CM+ BM+MD