Question

Можно ли расставить в клетках таблицы 5×8 числа 1 и 3 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел делилась на 7?

Answer 1

Решение: Предположим, что удалось так расставить числа 1 и 3 в таблице, что их сумма в каждой из 5 строк и в каждом из 8 столбцов делится на 7. Сумма в любой строке не меньше 8∙1=8 и не больше 8∙3=24. Числа в промежутке от 8 до 24, делящиеся на 7, это 14 и 21. Заметим, что сумма чисел в строке чётна – это сумма восьми нечётных чисел 1 и 3.
Следовательно, в каждой строке сумма равна 14. Аналогично, сумма чисел в каждом столбце лежит в промежутке от 5 до 15, является нечётной и делится на 7, т.е. эта суммам равна 7. Подсчитаем сумму S всех чисел в таблице: 1) по строкам S=14∙5=70; 2) по столбцам: S=7∙8=56. Полученное противоречие свидетельствует о том, что предположение о возможности требуемой в условии задачи расстановки чисел неверно. Так расставить числа нельзя.
Ответ: нельзя