Question

Докажите, что клетчатый квадрат размером 6х6 клеток нельзя разрезать на 11 различных фигур так, чтобы все клетки остались целыми. Фигуры считаются различными, если никакие две из них нельзя наложить друг на друга так, чтобы они совместились.

Answer 1

Докажем, что 11 фигур не поместятся в этот квадрат по площади. Будем брать фигурки минимальной возможной площади. Очевидно, что есть всего одна фигурка площади 1 и одна фигурка площади 2. Площади 3 есть уже две фигуры, а площади 4 целых пять различных фигур. Мы нашли 9 фигурок, площадь которых минимальна, но они уже заняли бы 1 + 2 + 3 ∙ 2 + 4 ∙ 5 = 29 клеток. При другом наборе 9 фигурок займем больше 29 клеток. А всего клеток 36. Значит, на оставшиеся 7 клеток или меньше необходимо поместить 2 фигуры. Но это невозможно, т.к. мы уже использовали все фигуры площади меньше 5