Question

Есть чашечные весы без делений. Для взвешивания груза также можно использовать гирьки, массы которых – целое число граммов. Вам необходимо предложить набор гирек, при помощи которого можно отмерить на весах любую массу, равную целому числу граммов от 1 до 10, при этом число гирек в наборе должно быть как можно меньше. Гирьки можно класть на каждую чашку весов, чашки весов должны находиться в равновесии, при этом на одной из чашек весов должен находиться взвешиваемый груз. Массы гирек в наборе могут повторяться. Объясните, как любую массу от 1 до 10 граммов можно взвесить при помощи предложенного набора

Answer 1

В оптимальном наборе гирек для уравновешивания любых масс необходимо использовать гирьки, массы которых являются степенями тройки: 1, 3, 9, 27 и т. д. Это связано с тем, что любое число можно представить в уравновешенной троичной системе счисления, при этом цифра 1 будет соответствовать тому, что гирька данной массы кладётся на одну чашку весов, цифра −1 будет соответствовать гирьке на другой чашке весов, а 0 означает, что данная гирька не используется.
Приведем пример уравновешивания всех масс от 1 до 10 при помощи гирек массами 1, 3, 9.
1 = 1.
2 = 3 − 1,
3 = 3,
4 = 3 + 1,
5 = 9 − 3 − 1,
6 = 9 − 3,
7 = 9 − 3 + 1,
8 = 9 − 1,
9 = 9,
10 = 9 + 1.
От учащегося требуется привести пример конструкции из трёх гирек (их массы могут отличаться от примера 1, 3, 9) и показать, что любую массу можно уравновесить при помощи данного набора гирек.