Question

На доске записано число 2018. Игорь дописывает в конец этого числа такую цифру, чтобы получившееся число было кратно 11, и делит его на 11. Затем он дописывает подходящую цифру в конец полученного результата и делит его на 11, и так далее. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Answer 1

Ответ: не может.
Решение. Докажем, что после каждого шага многозначное число на доске будет уменьшаться. Действительно, рассмотрим число n ≥ 10 и допишем в его конец цифру a . Получим число 10n + a < 11n , так как n ≥ 10 > a . Разделив его на 11, получим число, которое меньше, чем n .
Докажем теперь, что в результате описанной операции из многозначного числа невозможно получить однозначное. Действительно, если n ≥ 10 , то 10n + a ≥ 100 + a > 99 . Тогда, если 10n + a делится на 11, то после деления будет получено число, которое больше, чем 9.
Так как 2018 – многозначное число, то оно будет после каждого шага уменьшаться, но никогда не станет однозначным, поэтому описанный процесс не может продолжаться бесконечно