Будем называть маленький кубик, у которого есть красная грань, окрашенным. Размер большого куба больше 7 (так как только неокрашенных кубиков 343 = 7^3, а есть ещё и окрашенные), но меньше 9 (так как «внутренних» кубиков — они все не окрашены — не больше 7^3). Значит, он равен 8. Из 8^3 = 512 кубиков, его составляющих, 6^3 = 216 — «внутренние». Осталось 343−216 = 127 неокрашенных кубиков, которые лежат на границе большого куба. Каждая неокрашенная грань даст 36 таких кубиков (внутренний квадрат 6×6), поэтому неокрашенных граней меньше четырёх. Докажем, что их по крайней мере три. Действительно, если их меньше, то все угловые кубики окрашены, и неокрашенных кубиков границы — чётное количество. Значит, не окрашены три грани, имеющие общую вершину. Проверим, что куб 8×8×8 с тремя неокрашенными попарно смежными гранями подходит. В нём неокрашенных кубиков 3 · 6^2 = 108 (внутренние кубики граней) плюс 3 · 6 = 18 — кубики на общем ребре двух неокрашенных граней плюс один угловой — ровно 127 кубиков.
Ответ: 3 грани