Question

Один из углов треугольника на 120 больше другого. Докажите, что биссектриса, проведенная из вершины третьего угла, вдвое больше высоты, проведенной из этого угла.

Answer 1

Пусть в треугольнике ABC угол C больше угла A на 120, BD и BE — высота и биссектриса соответственно . Обозначим угол A через α. Тогда ∠C = 120◦ + α. Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна 180, имеем ∠B = 60◦ − 2α. Значит, ∠CBE = 1/2 ∠B = 30◦ − α. Наконец, из треугольника BEC получаем, что ∠BEC = ∠BED = 180◦ −∠C −∠CBE = 30◦
В прямоугольном треугольнике BDE катет BD лежит против угла в 30, поэтому он вдвое короче гипотенузы BE. Утверждение доказано