Question

У натурального числа N выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшее значение N

Answer 1

Ответ: 288.
Решение. Заметим, что у числа 288 есть делители 1, 2, 3, 4, 32, 6, 16, 8, 9. Поэтому это число удовлетворяет условию задачи. Докажем, что меньшего числа, удовлетворяющего условию, не существует.
Действительно, так как N должно иметь делитель с суммой цифр 9, то N делится на 9. Рассмотрим теперь делитель d с суммой цифр 8. d не делится на 3, поэтому числа d и 9 – взаимно простые, значит, N делится на 9d. При этом, если d ≥ 32, то 9d ≥ 288, то есть N ≥ 288. Значит, остается проверить d = 26, d = 17 и d = 8.
Если d = 26, то 9d = 234. У этого числа нет делителя с суммой цифр 5, а любое число, ему кратное, больше, чем 288.
Если d = 17, то 9d = 153. У этого числа нет делителя с суммой цифр 2, а любое число, ему кратное, больше, чем 288.
Если d = 8, то 9d = 72. Ему кратные и меньшие, чем 288 – это 144 и 216. Но у этих чисел нет делителя с суммой цифр 5.