Question

В некотором треугольнике провели один отрезок. Оказалось, что на получившемся чертеже можно увидеть все известные Вам виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, разносторонний, прямоугольный, остроугольный, тупоугольный.
а) Приведите пример такого треугольника и проведённого в нём отрезка.
б) Определите, какие значения могут принимать углы такого треугольника.
Приведите все варианты ответа и докажите, что других нет.

Answer 1

Решим сразу пункт б). После проведения одного отрезка в треугольнике получатся либо 2 либо 3 треугольника. При этом 3 — только в случае, если отрезок соединяет вершину с точкой стороны. Так как должны быть прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники, именно этот последний случай и должен иметь место. При этом проведённый отрезок не может быть высотой (возникают 2 прямоугольных треугольника). Остаётся 2 варианта. 1) Был тупоугольный треугольник, и из вершины тупого угла провели отрезок, делящий тупой угол на прямой и острый. Но тогда не возникнет остроугольного треугольника. 2) Был прямоугольный треугольник. Тогда чтобы возник правильный необходимо, чтобы один из его углов равнялся 60, а проведённый отрезок является медианой, выходящей из прямого угла. Такая ситуация нас устраивает.
Ответ: б) 90◦ , 30◦ и 60◦