Question

Доказать, что число, у которого старшая цифра - наибольшая, и каждая следующая цифра меньше предыдущей, не кратно 11.

Answer 1

Пусть есть числа такого вида, кратные 11. Рассмотрим наименьшее из них. Если оно оканчивается на нуль, делим его на 10 и получим число, кратное 11 и меньшее, что невозможно так как мы выбрали наименьшее. Если оно не оканчивается на нуль, то вычтем из него 11 и получим меньшее кратное 11 и удовлетворяющее свойству убывания цифр. Но это тоже невозможно. Значит, таких чисел нет.
Можно не рассматривать наименьшее число, а указанный процесс начать с любого и довести до однозначного числа не равного нулю, которое не кратно 11.
Возможно решение, основанное на признаке делимости на 11: у числа, кратного 11, знакопеременная сумма цифр делится на 11. Должно быть показано, что знакопеременная сумма больше нуля, но меньше старшей цифры.