Все планеты движутся вокруг Солнца в одну и ту же сторону. Все внутренние планеты совершают оборот вокруг Солнца быстрее, чем внешние. Внутренняя планета по истечении сидерического периода возвращается в исходное положение. Внешняя планета к этому времени смещается на некоторое расстояние. Чтобы снова попасть в противостояние, внутренняя планета должна догнать внешнюю. Поэтому синодический период получается длиннее сидерического. Для того чтобы синодический период был минимальным, внутренняя планета должна быть самой быстрой, а внешняя - самой медленной. Тогда синодический период будет мало отличаться от сидерического периода внутренней планеты. Самая подходящая пара - это Меркурий и Нептун. Синодический период для них составляет
Эта величина, ожидаемо, неплохо совпадает с сидерическим периодом Меркурия.
Для того, чтобы синодический период был максимальным, требуется, чтобы внутренняя планета как можно медленнее догоняла внешнюю, т. е. их периоды должны быть максимально близкими. Поскольку синодический период должен быть больше сидерического, то сидерические периоды этих планет должны быть максимально велики. Поэтому максимальным периодом будет обладать пара Уран и Нептун:
Искомое отношение равно
Сколько же всего вариантов нам пришлось бы перебрать, если бы мы решали эту задачу напрямую? Очевидно, что синодический период планеты А при наблюдении с планеты Б равен синодическому периоду планеты Б с планеты А. Поэтому число различных синодических периодов равно числу пар планет. Для Меркурия можно найти 7 различных пар, для Венеры уже 6 и так далее. Поэтому полное число синодических периодов равно
N=1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.