По определению, красное смещение равно разности излученной и лабораторной длин волн, отнесенной к лабораторной длине волны:
Здесь учтено, что λ = с ν-1. Откуда берется изменение частоты. Для преодоления поля притяжения звезды квант света, как и любое материальное тело, должен израсходовать часть своей энергии. Как известно, энергия кванта ε зависит от его частоты ν как ε = hν. Пусть частота кванта в момент излучения равна ν0, а в момент приема — ν. Тогда уравнение сохранения энергии принимает вид:
Здесь h – постоянная Планка, G — гравитационная постоянная, M и R – масса и радиус звезды, m0 — масса кванта в момент излучения. Формула Эйнштейна позволяет связать массу и энергию кванта:
Тогда уравнение сохранения энергии приобретает вид:
Подставив полученное выражение в уравнение для определения красного смещения, получим:
Здесь мы учли, что для обеих звезд второе слагаемое в знаменателе много меньше 1 и применили приближенную формулу (1+x )n=1+nx, справедливую при малых x. Осталось сравнить красные смещения от Солнца и Бетельгейзе:
Итого, гравитационное красное смещение для Солнца почти в 50 раз больше.