Question

Космический аппарат «Dawn» в феврале 2015 года прибывает к последней цели своего путешествия — карликовой планете Церера. По пути он посетил Марс и долго исследовал астероид Веста. Определите, сколько времени потребовалось бы космическому аппарату для выполнения его программы, если бы после встречи с Марсом он двигался только по оптимальным (гомановским) эллипсам? Сколько времени у него было бы для исследования Весты? Орбиты Марса, Весты и Цереры считать круговыми и лежащими в одной плоскости. В момент отправки с Марса Церера отставала от него в орбитальном движении на 140°.

Answer 1

Большая полуось орбиты Марса равна а = 1.5 а.е., Весты — a = 2.4 а.е. Значит большая полуось орбиты аппарата на первом участке полета равна:

 
По 3-му закону Кеплера время перелета по этой орбите от Марса до Весты окажется равным:

 
Здесь То = 1 год и а0 = 1 а.е. — сидерический период и радиус орбиты Земли. Прибыв на Весту космический аппарат совершил половину оборота вокруг Солнца, в то время, как Церера прошла лишь 1.4 / 4.6 = 0.3 своего пути. Значит, она отстает от Весты на 180°+140° - 1.4 /4.6-360 ° -210°, или опережает на 150°.
Большая полуось орбиты перелета на Цереру равна:

а время перелета

За это время Церера смещается по орбите на 2.1 / 4.6·360º = 164º, т. е. для того, чтобы аппарат встретился с Церерой, она должна опережать Весту на 16º.
Синодический период Цереры для наблюдателя с Весты равен

Значит до нужной конфигурации осталось:

Все это время аппарат мог бы потратить на исследование Цереры. Полностью перелет от Марса к Церере занял бы 13.3 года