Question

Рассмотрим формулы длины окружности и площади круга. Почему одна из них легко переносится на эллипс, а другая нет? Кто впервые выяснил этот факт? Умеете ли вы его доказывать «на пальцах»?

Answer 1

Формула площади S = пr^22 переносится на эллипс и дает формулу S = пab, поскольку сжатие плоскости по одной координате линейно изменяет площади всех фигур. Но длины кривых при таком сжатии или растяжении изменяются нелинейно. Поэтому (как заметил Ньютон) длину эллипса с полуосями 1, 1 + е можно выразить только в виде степенного ряда от эксцентриситета е.
Проверить, что формула длины L = п(а + b) неверна, можно на примере вытянутого эллипса с полуосями 1,10. Для этого нужно сравнить длину эллипса с длиной вписанного в него ромба, учитывая известное неравенство п < 3,5.