Рассмотрим силы, действующие на шар в наивысшей точке вращения, точке А:
Со стороны Земли на шар действует сила тяжести mg, со стороны нити – сила реакции подвеса N. Но! Так как в качестве подвеса, по условию задачи, дана нить, то в точке А сила реакции подвеса N должна быть равна 0. В противном случае, шарик будет двигаться не по окружности, а просто падать вниз из точки А.
Учитывая это, запишем II закон Ньютона для шарика, проходящего точку А.
ma-> = mg->+ N->,
запишем теперь это уравнение в проекции на ось ОУ, помня о том, что N = 0
ma = mg,
сократив левую и правую часть уравнения на m, помня о том, что a = ϑA2/R, где R – длина нити – радиус окружности, по которой движется тело, получаем выражение
ϑA2/R = g => ϑA2 = gR. (*)
Далее, используя закон сохранения и превращения механической энергии, рассчитаем, какой скоростью будет обладать тело в низшей точке траектории, в точке В, приняв за нулевую точку отсчёта высоты точку В.
mϑA2/2 + mg2R = mϑВ2/2, сократив левую и правую часть уравнения на m, подставим выражение (*)
gR/2 + 2gR = ϑВ2/2, выразим ϑВ2
ϑВ2 = gR + 4gR = 5gR. (**)
Запишем II закон Ньютона для шарика, проходящего точку В:
ma-> = mg->+ N->,
запишем теперь это уравнение в проекции на ось ОУ с учётом знаков проекций:
ma = -mg+ N,
выразим отсюда N и воспользуемся выражением (**) для ϑВ2
N = ma+ mg = m(a+ g)= m(ϑВ2/R+ g) = m(5g + g) = 6mg
Как мы знаем, вес тела подвешенного на нити в покое равен mg.
Выражение Гюйгенса доказано.