Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Известно, что AB = BD. Пусть точка M - середина боковой стороны CD , а O - точка пересечения отрезков AC и BM . Докажите, что треугольник BOC - равнобедренный.

Answer 1

Для доказательства того, что треугольник BOC является равнобедренным, нужно показать, что BO = OC.

Рассмотрим треугольники BMO и CMO:

1. Точка M - середина стороны CD по условию задачи.
2. Так как AB = BD, то AM = MD (так как M - середина).
3. Углы BMO и CMO являются вертикальными углами и поэтому равны между собой.

Таким образом, по теореме о равнобедренном треугольнике у равнобедренного треугольника BMO сторона BM равна стороне MO.

Теперь рассмотрим треугольники AOC и BOC:

1. Треугольники AOC и BOC имеют общую высоту OC.
2. Стороны треугольников AO и BO равны (по условию задачи).
3. По доказанному ранее BO = MO.

Из этих фактов следует, что треугольник BOC является равнобедренным, так как стороны BO и CO равны, что и требовалось доказать.