а) Пусть t - время, в течение которого падало тело. За последнюю секунду падения тело пролетело расстояние, в 2 раза большее, чем за предпоследнюю секунду. Значит, за предпоследнюю секунду тело пролетело расстояние x, а за последнюю - 2x. Тогда общее расстояние, пройденное телом за время t равно:
h = x + 2x + 3x + ... + (t-1)x + tx
h = x(1 + 2 + 3 + ... + t)
h = xt(t+1)/2
С другой стороны, мы знаем, что ускорение свободного падения равно g = 9.8 м/с². Значит, скорость тела непосредственно перед падением на землю равна:
v = gt
Мы можем найти время падения, подставив значение h в первое уравнение и приравняв его к выражению для h из закона движения тела:
xt(t+1)/2 = (1/2)gt²
После сокращения на x получаем квадратное уравнение:
t² + t - 2h/g = 0
Его корни:
t₁ = (-1 + √(1 + 8h/g))/2
t₂ = (-1 - √(1 + 8h/g))/2
Ответом на задачу будет положительный корень t₁, так как время падения не может быть отрицательным. Оставшиеся пункты задания можно решить, зная значение времени t₁.
б) Скорость тела непосредственно перед падением на землю равна v = gt₁.
в) Чтобы определить высоту, с которой падало тело, нужно использовать закон движения тела, свободно падающего с начальной скоростью 0 и ускорением g:
h = (1/2)gt₁²
Ответом на задачу будет найденное в первом пункте значение времени t₁ и найденное по формуле значение скорости и высоты.