Question

Через вершину В прямоугольника ABCD проведена прямая MB, перпендикулярная сторонам прямоугольника АВ и ВС  
а)  Докажите перпендикулярность прямой CD и плоскости МВС.
б)   Докажите  перпендикулярность плоскостей MCD и МВС.
в)   Найдите  площадь  прямоугольника, если MD = 13 см, МС = 12 см, AD : CD = 8 : 5.

Answer 1

а) Для доказательства перпендикулярности прямой CD и плоскости MVS рассмотрим треугольники MCD и MSC. Из условия известно, что угол MCD прямой, так как MB перпендикулярна сторонам AB и BC прямоугольника ABCD. Также известно, что MC перпендикулярна стороне AB, а значит, угол MSC также прямой. Из этого следует, что угол MCD равен углу MSC. Таким образом, прямая CD перпендикулярна плоскости MVC.

б) Для доказательства перпендикулярности плоскостей MCD и MVS рассмотрим треугольники MCD и MCS. Угол MCD равен углу MCS, так как они соответственные при параллельных прямых CD и MS. Таким образом, плоскости MCD и MVS перпендикулярны.

в) Для нахождения площади прямоугольника ABCD воспользуемся теоремой Пифагора и подобием треугольников. Обозначим AD = 8x, CD = 5x. Тогда из подобия треугольников MCD и MCS получаем:

MD/MC = CD/CS
13/12 = 5x/(8x+12)
13(8x+12) = 12*5x
104x + 156 = 60x
44x = 156
x = 3.545

Теперь найдем длину сторон прямоугольника:
AD = 8x = 8*3.545 = 28.36 см
CD = 5x = 5*3.545 = 17.725 см
BC = MC = 12 см
AB = MD = 13 см

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины на ширину:
Площадь = AD * CD = 28.36 см * 17.725 см = 502.91 кв.см

Ответ: Площадь прямоугольника ABCD равна 502.91 кв.см.