Question

Прямая DA перпендикулярна плоскости треугольника ABC (C = 90°). Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и DВС.

Answer 1

Для доказательства перпендикулярности плоскостей DAC и DBC, мы можем воспользоваться фактом о том, что прямая DA перпендикулярна плоскости треугольника ABC.

Поскольку прямая DA перпендикулярна плоскости треугольника ABC, она будет параллельна нормали к этой плоскости.

Теперь рассмотрим плоскости DAC и DBC. Чтобы доказать их перпендикулярность, мы должны показать, что вектор нормали к плоскости DAC перпендикулярен вектору нормали к плоскости DBC.

Поскольку прямая DA параллельна нормали к плоскости ABC, то она также параллельна нормали к плоскости DAC, поскольку плоскость DAC является проекцией плоскости ABC на плоскость DAC.

Аналогично, прямая DA также параллельна нормали к плоскости DBC, поскольку плоскость DBC является проекцией плоскости ABC на плоскость DBC.

Из этого следует, что векторы нормалей к плоскостям DAC и DBC параллельны прямой DA, следовательно, плоскости DAC и DBC перпендикулярны друг другу.