Question

Прямая SO проходит через точку пересечения диагоналей ромба ABCD и перпендикулярна каждой из них. Докажите перпендикулярность плоскостей SAC и SBD.

Answer 1

Для доказательства перпендикулярности плоскостей SAC и SBD, мы можем воспользоваться свойствами ромба ABCD.

Поскольку прямая SO проходит через точку пересечения диагоналей ромба ABCD и перпендикулярна каждой из них, это означает, что она будет параллельна сторонам AB и CD ромба ABCD.

Так как прямая SO параллельна сторонам AB и CD, то она будет перпендикулярна плоскости ABCD, так как любая прямая, параллельная одной из сторон ромба, будет перпендикулярна плоскости этого ромба.

Теперь рассмотрим плоскости SAC и SBD. Поскольку прямая SO перпендикулярна сторонам AB и CD, а также параллельна сторонам AC и BD, то она будет лежать в обеих плоскостях SAC и SBD.

Таким образом, вектор нормали к плоскости SAC будет параллелен сторонам AC и BD ромба ABCD, а вектор нормали к плоскости SBD будет перпендикулярен сторонам AC и BD.

Из этого следует, что векторы нормалей к плоскостям SAC и SBD будут коллинеарны, следовательно, плоскости SAC и SBD перпендикулярны друг другу.