Question

Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Точки Е, F, М, К — середины отрезков АВ, ВС, CD и AD соответственно.
а) Докажите, что EFMK — параллелограмм .
б)  Найдите периметр EFKM, если АС = 6 см, BD = 8 см.

Answer 1

1) Докажем по определению: "Параллелограммом называется четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны". по аксиоме любые три точки всегда лежат в одной плоскости. Значит четвертая точка не лежит в данной плоскости. Если все 4 точки соединить между собой, то получится треугольная пирамида (тетраэдр)  рассмотрим ΔАВС: Если Е и F - середины сторон АВ и ВС, то EF - средняя линия треугольника (по определению), следовательно EF || AC. аналогично для других треугольников: KM - средняя линия треугольника ADC значит КM || AC Если EF || AC и  КM || AC, то  EF || KM (закон транзитивности) EK - средняя линия треугольника ADB, значит EK || BD MF- средняя линия треугольника CDB, значит MF || BD Если EK || BD и MF || BD, то EK || MF Итак, EF || KM и EK || MF, следовательно EFKM-параллелограмм (по определению) - ч.т.д. 2) средняя линия треугольника равна половине основания KE=MF=BD/2=8/2=4 см KM=EF=AC/2=6/2=3 см Периметр (Р) - сумма длин всех сторон KE+MF+KM+EF=4+4+3+3=14 см Отв: 14 см