Question

В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC, проведена биссектриса AM. На продолжении стороны CB за точку B выбрана точка F.  Известно, что ∠ABF = 84°. Найдите величину угла ∠AMB в градусах.

Answer 1

∠CBF — это развёрнутый угол, который по определению равен 180°
∠CBF = ∠CBA + ∠ABF
Отсюда
∠CBA = ∠CBF — ∠ABF = 180° — 84° = 96°
Рассмотрим треугольник ABC
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠CBA + ∠BAC + ∠ACB = 180°
96° + ∠BAC + ∠ACB = 180°
По условию задачи нам дан равнобедренный треугольник ACB. Согласно свойству равнобедренного треугольника — углы при основании (CA) равны.  Т.е. ∠BAC и ∠ACB равны.
Следовательно
∠BAC + ∠ACB = 180° — 96° = 84°
∠BAC = ∠ACB = 84° : 2 = 42°
Рассмотрим треугольник AMB
По условию задачи в треугольнике ABC проведена биссектриса AM.
По определению, биссектриса делит угол пополам, следовательно
∠MAB = ∠CAB : 2 = 42° : 2 = 21°
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠MAB + ∠ABM + ∠AMB = 180°
21° + 96° + ∠AMB = 180°
∠AMB = 180° — 21° — 96° = 63°
Ответ:
∠AMB = 63°