Question

В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC, проведены биссектрисы CL и AM, пересекающиеся в точке О. На продолжении стороны CB за точку B выбрана точка F.  Известно, что ∠ABF = 80°. Найдите величину угла ∠AOC в градусах.

Answer 1

∠CBF — это развёрнутый угол, который по определению равен 180°
∠CBF = ∠CBA + ∠ABF
Отсюда
∠CBA = ∠CBF — ∠ABF = 180° — 80° = 100°
Рассмотрим треугольник ABC
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠CBA + ∠BAC + ∠ACB = 180°
100° + ∠BAC + ∠ACB = 180°
По условию задачи нам дан равнобедренный треугольник ACB. Согласно свойству равнобедренного треугольника — углы при основании (CA) равны.  Т.е. ∠BAC и ∠ACB равны.
Следовательно
∠BAC + ∠ACB = 180° — 100° = 80°
∠BAC = ∠ACB = 80° : 2 = 40°
Рассмотрим треугольник ACO
По условию задачи в треугольнике ABC проведены биссектрисы CL и AM.
По определению, биссектриса делит угол пополам, следовательно
∠CAO = ∠CAB : 2 = 40° : 2 = 20°
∠ACO = ∠ACB : 2 = 40° : 2 = 20°
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠CAO + ∠ACO + ∠AOC = 180°
20° + 20° + ∠AOC = 180°
∠AOC = 180° — 20° — 20° = 140°
Ответ:
∠AOC = 140°