Серебристые облака - самые высокие облака на Земле, образующиеся в области последнего температурного минимума в мезосфере (в летние месяцы температура там уменьшается до -90°С). Будем считать, что серебристые облака видны всегда, когда они освещаются Солнцем (на самом деле поглощение в атмосфере вносит дополнительные ограничения). На рисунке изображена предельная ситуация, когда облака, находящиеся в точке N, освещаются касательными лучами Солнца. Наблюдатель находится в точке O.
Из прямоугольного треугольника ASC видно, что глубина погружения Солнца под горизонт у в точке O равна сумме геоцентрических углов а и |3. Для треугольника ONC можно записать выражения теорем косинусов и синусов:
Здесь R - радиус Земли, H - высота серебристых облаков, h - их угловая высота над горизонтом. Возводя в квадрат второе уравнение и заменяя sin a на (1 -cos a), получаем квадратное уравнение относительно косинуса угла а:
После преобразований свободного члена уравнения получаем выражение для дискриминанта:
Уравнение имеет два решения:
Физический смысл имеет решение со знаком «+», второе решение соответствует продолжению отрезка NO под горизонт с последующим выходом в атмосферу Земли. Подставляя численные значения, получаем, что угол а равен 3.6°. Угол |3 рассчитывается значительно проще:
В итоге, серебристые облака остаются видимыми на данной высоте над горизонтом, пока погружение Солнца под горизонт не достигнет 12.8°. На широте Москвы (+55.7°) Солнце не опускается глубже данного уровня, если его склонение превышает +21.5°, то есть с последних дней мая до середины июля.