В адиабатической атмосфере отсутствует обмен тепла между различными ее частями. Так, для одного моля газа с объемом V уравнение теплового баланса будет выглядеть следующим образом:
Здесь P - давление, T - температура, R - универсальная газовая постоянная, i - число механических степеней свободы молекулы. Если газ поднимается наверх, он расширяется и совершает работу, но при этом охлаждается, в итоге не передавая тепло окружающей атмосфере. Поэтому в адиабатических условиях температура уменьшается с высотой.
По условию задачи атмосфера сухая, и можно считать, что она состоит из идеального газа. В этом случае изменения давления, объема и температуры одного моля газа связаны соотношением:
ΔPV + PΔV = RΔT.
Изменение давления АР связано с изменением высоты А/г:
ΔP = −ρ gΔh.
Здесь р - плотность газа, g - ускорение свободного падения. Подставляя эту связь в уравнение идеального газа, выражая изменение объема AFro адиабатического уравнения, получаем:
Произведение плотности и молярного объема есть молярная масса газа \х. В результате мы приходим к выражению для сухого адиабатического градиента температуры:
Высота сухой адиабатической атмосферы - это высота, на которой температура такой атмосферы обращается в ноль:
Здесь T0 - температура атмосферы у поверхности планеты.
Рассчитаем сначала высоту адиабатической атмосферы для Земли. Ускорение свободного падения на Земле равно 9.81 м/с2, молярная масса - 0.029 кг/моль. Атмосфера состоит в основномиз двухатомных молекул, для которых i = 5. Сухой адиабатический градиент температуры получается равным -0.0098 K/м. Температура у поверхности Земли составляет в среднем 290 K, и высота адиабатической атмосферы равна 29.6 км.
Атмосферы Венеры и Марса состоят в основном из углекислого газа, молярная масса равна 0.044 кг/моль, а число i близко к 6. Ускорение свободного падения у поверхности Венеры равно 8.87 м/с2, температура составляет 700 K. Адиабатический градиент получается равным -0.012 K/м, а высота сухой адиабатической атмосферы - около 60 км. Для Марса, при ускорении свободного падения 3.71 м/с2 и температуре поверхности 220 K получаем величину градиента -0.005 K/м и высоту сухой адиабатической атмосферы 45 км.
Разумеется, атмосферы планет не являются адиабатическими. Полученные величины фактически являются ограничениями на высоту тропосфер планет, где наблюдаются похожие условия - температура уменьшается с высотой