Вначале отметим, что максимальная продолжительность частного покрытия Луной планеты будет достигаться, когда Луна находится в точке апогея своей орбиты. В этой точке ее угловой диаметр будет наименьшим (около 29.5'), но в значительно большей пропорции будет убывать скорость движения лунной тени по земной поверхности и угловая скорость движения Луны по небу. Так, если лунная тень движется вдоль экватора Земли с запада на восток со скоростью 0.96 км/с (скорость движения Луны в апогее), а наблюдатель движется вместе с поверхностью Земли в том же направлении со скоростью 0.46 км/с, то скорость движения тени относительно наблюдателя составит всего 0.50 км/с. (Как вы догадались, область видимости покрытия, по аналогии с затмениями, мы называем тенью). Разделив эту величину на расстояние от поверхности Земли до Луны (оно получается равным 399.8 тыс. км), получаем видимую угловую скорость движения Луны относительно звезд: Q=0.258°/4ac (или 7мин).
Угловой диаметр Луны из точки наблюдения, где она находится вблизи зенита, будет чуть больше геоцентрического значения и составит D=29.9'. Очевидно, что продолжительность частного покрытия планеты будет тем большей, чем больше угловой диаметр этой планеты. Из всех планет максимальный угловой диаметр d=62" или 1.03' имеет Венера вблизи нижнего соединения с Солнцем. Схема частного покрытия планеты с максимальной продолжительностью представлена на рисунке. В течение этого покрытия Луна в своем движении относительно планеты должна пройти путь
Максимальная продолжительность частного покрытия Венеры будет равна
где ω — угловая скорость попятного движения Венеры навстречу Луне, равная вблизи нижнего соединения 0.023′/мин. В результате, максимальная продолжительность частного покрытия Венеры получается равной 39.5 минутам.
Справедливости ради нужно отметить, что такое покрытие вряд ли может быть хорошо видно с Земли. Луна и Венера будут находиться на небе вблизи Солнца, к тому же Венера будет иметь вид тонкого серпа, и далеко не все фазы покрытия будут непосредственно видимыми. В этом отношении самым длительным можно считать покрытие Юпитера вблизи его противостояния, которое, напротив, будет видно ночью, а Юпитер будет выглядеть полным диском, частично закрытым Луной. Продолжительность такого явления будет ненамного меньшей. В самом деле, подставляя значения максимального видимого полярного (понимаете, почему?) радиуса Юпитера d=46.4″ или 0.77′, и его угловую скорость его попятного движения вблизи противостояния 0.006′/мин, получаем продолжительность покрытия, равную 36.4 минутам