Question

В равнобедренном треугольнике ABC на боковых сторонах АВ к ВС соответственно отметили точки N и М так, что ∠MAB= ∠NCB. Докажите, что AN = СМ.

Answer 1

Для доказательства того, что AN = CM в равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB и BC и точками N и M такими, что ∠MAB = ∠NCB, рассмотрим следующую цепочку равенств:

1. Треугольник ABC - равнобедренный, поэтому AB = BC.
2. Рассмотрим треугольники AMB и CBN. У них два угла равны: ∠MAB = ∠NCB (по условию) и ∠AMВ = ∠CBN (как вертикальные углы).
3. Также, треугольники AMB и CBN имеют общую сторону AB.
4. По углу-стороне-углу (УСУ) треугольники AMB и CBN подобны.
5. Из подобия треугольников AMB и CBN следует, что соответствующие стороны пропорциональны: AN/NC = AM/CB.
6. Так как AB = BC в равнобедренном треугольнике ABC, то AN/NC = AM/BC.
7. Умножим обе части равенства на BC: AN = AM.

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB и BC и точками N и M такими, что ∠MAB = ∠NCB, выполняется равенство AN = CM.