Question

Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Если сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной к грани с наибольшим плоским углом, имеет форму равнобедренного треугольника (основание треугольника лежит в плоскости прямого угла), то секущая плоскость отсекает на ребрах трехгранного угла равные отрезки. Докажите

Answer 1

Рассмотрим трехгранный угол OABC, у которого ∠AOB = ∠AOC = 60°, ∠BOC = 90°.
Плоскость BAC перпендикулярна плоскости BOC и AB = AC. Тогда перпендикуляр AM, опущенный из точки A на плоскость BOC, попадет в точку M — середину BC, т.е. в центр описанной около прямоугольного треугольника BOC окружности. Отсюда следует, что MB = MC = MO.
Так как ∠AOC = ∠AOB = 60°, ∠(OMB, AMB) = 90° ∠BOM = ∠COM = 45° ⇒ по теореме косинусов ∠AOM = 45° ⇒ AO = OB = OC, что и требовалось доказать