Question

На доске выписаны натуральные числа от 1 до 1000. За ход можно вычеркнуть еще не вычеркнутое число и все его делители. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Докажите, что у второго нет выигрышной стратегии.

Answer 1

Рассмотрим ту же игру на множестве чисел от 2 до 1000. Если на этом множестве у второго игрока есть выигрышная стратегия, то первый в настоящей игре первым ходом вычеркивает 1, тем самым он становится вторым игроком на множестве от 2 до 1000 и выигрывает. Если у второго нет выигрышной стратегии на множестве от 2 до 1000, то первый в настоящей игре 1 – м ходом вычеркивает любое число, не равное 1, и все его делители, в том числе 1. (Если первый делает такой  1- й ход, то игра на множестве от 2 до 1000 ничем не отличается от настоящей.) Тогда второй остается в своем положении без выигрышной стратегии на множестве от 2 до 1000. Т.е. в обоих случаях у второго нет выигрышной стратегии.