Question

На доске написаны числа 25 и 36. Играют двое. За ход разрешается написать положительную разность двух каких – либо уже имеющихся чисел, которая еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто проигрывает при правильной игре?

Answer 1

Заметим, что в этой игре любая позиция, которая может быть достигнута вообще, будет достигнута при игре вне зависимости от ходов игроков. Покажем, что могут быть достигнуты все числа от 1 до 36.
1 – й ход: 36 – 25 = 11, на доске 25, 36, 11.
2 – й ход: 25 – 11 = 14 ( 36 – 11 = 25, 36 – 25 = 11, эти числа были на доске, поэтому такие ходы делать нельзя), на доске 11, 14, 25, 36.
Рано или поздно игроки получают число 3 ( 14 – 11 = 3 или другим способом), потому что они могут продолжать игру, пока не получат все возможные числа. Но тогда они получат и 1, так как 11 – 3 – 3 – 3 = 2,  3 – 2 = 1. Получив 1, они могут получать все числа от 1 до 36, которых еще не было. Так как повторяться нельзя и два числа будут изначально, то у них будет ровно 34 хода, т.е. игру закончит второй и выиграет.