Question

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2 + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит
px− (0,5x2 + 2x + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Answer 1

Прибыль фирмы за один год (в млн рублей) составит

px− (0,5x² + 2x + 6) = −0,5x² + (p – 2)x – 6.

Квадратичная функция

y= −0,5x² + (p – 2)x – 6      

достигает наибольшего значения в точке x = p – 2, следовательно, прибыль за год будет наибольшей, если x = p – 2. Эта наибольшая прибыль равна

–0,5(p – 2)² + (p – 2)² – 6 = 0,5(p – 2)² – 6,

а за 3 года наибольшая прибыль составит 1,5(p – 2)² – 18.

Найдём наименьшее значение p, при котором верно неравенство:

1,5(p – 2)² – 18 ≥ 78,

1,5(p – 2)² ≥ 96,

(p – 2)² ≥ 64.

Так как случай p– 2 ≤–8 не отвечает условиям задачи, то p – 2 ≥ 8, p ≥ 10. Следовательно, строительство завода окупится не более, чем за 3 года, при наименьшем значении p = 10.

Ответ. 10.