Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для нахождения средней линии трапеции через диагонали.
Средняя линия трапеции равна полусумме длин её оснований:
Средняя линия = (AD + BC) / 2
Мы знаем, что диагонали трапеции AC и BD пересекаются в точке O, и cos(COD) = 1/4.
Из косинуса угла COD мы можем найти угол COD:
cos(COD) = (AC^2 + BD^2 - AO^2 - OC^2) / (2 * AC * BD)
Подставляя известные значения:
1/4 = (6^2 + 9^2 - AO^2 - OC^2) / (2 * 6 * 9)
1/4 = (36 + 81 - AO^2 - OC^2) / 108
27 = 117 - AO^2 - OC^2
AO^2 + OC^2 = 90
Так как O — точка пересечения диагоналей, то мы можем применить теорему Пифагора для треугольников AOD и BOC:
AO^2 + OD^2 = AD^2
OC^2 + OD^2 = BC^2
Подставляя значения:
AO^2 + OD^2 = 36
OC^2 + OD^2 = 81
Сложим уравнения:
AO^2 + OD^2 + OC^2 + OD^2 = 36 + 81
AO^2 + OC^2 + 2 * OD^2 = 117
90 + 2 * OD^2 = 117
2 * OD^2 = 27
OD^2 = 13.5
Теперь мы можем найти среднюю линию трапеции:
Средняя линия = (AD + BC) / 2 = (6 + 9) / 2 = 15 / 2 = 7.5 см
Таким образом, средняя линия трапеции равна 7.5 см.