Question

Пусть М — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что MA + MB + МС = 0. Докажите также, что если имеет место равенство MA + MB + МС = 0, то М — точка пересечения медиан треугольника ABC.

Answer 1

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством медиан треугольника.

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Рассмотрим векторное равенство: MA + MB + MC = 0. Из определения центра тяжести известно, что GA + GB + GC = 0. Так как M - точка пересечения медиан, то она совпадает с центром тяжести G. Следовательно, утверждение MA + MB + MC = 0 выполняется для точки M, которая является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Теперь докажем обратное утверждение: Пусть для точки M выполняется условие MA + MB + MC = 0. Известно, что сумма векторов от точки до вершины треугольника равна нулю. Таким образом, вектор MA + MB + MC = 0. Отсюда следует, что точка M совпадает с центром тяжести треугольника ABC, то есть M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Таким образом, доказано, что если MA + MB + MC = 0, то M является точкой пересечения медиан треугольника ABC.