Для данной задачи, сначала найдем координаты точки M в общем виде, где M(x, y).
Координаты точки A: (1, 2)
Координаты точки B: (3, 0)
а) AM^2 + BM^2 = 2AB^2
Раскроем квадраты и подставим координаты точек:
(x-1)^2 + (y-2)^2 + (x-3)^2 + y^2 = 2((3-1)^2 + (0-2)^2)
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + x^2 - 6x + 9 + y^2 = 2(4 + 4)
2x^2 - 8x + 2y^2 - 8y + 14 = 16
2x^2 - 8x + 2y^2 - 8y - 2 = 0
б) AM^2 - BM^2 = AB^2
Раскроем квадраты и подставим координаты точек:
(x-1)^2 + (y-2)^2 - ((x-3)^2 + y^2) = (3-1)^2 + (0-2)^2
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 4 + 4
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - x^2 + 6x - 9 - y^2 = 8
8x - 4y - 4 = 0
2x - y - 1 = 0
в) AM = 2BM
Это означает, что точка M находится посередине отрезка AB.
Середина отрезка AB: ( (1+3)/2 , (2+0)/2 ) = (2, 1)
Таким образом, геометрическое место точек M удовлетворяющих условию AM = 2BM - это прямая проходящая через точку (2, 1) и перпендикулярная AB.
г) AM^2 + BM^2 - AM - BM = AB^2
Раскрываем квадраты и получаем:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + x^2 + 2x + 1 + y^2 = (3-1)^2 + (0-2)^2
3x^2 - 6x + 10y^2 - 10y + 15 = 8
3x^2 - 6x + 10y^2 - 10y + 7 = 0