Question

В первенстве по футболу принимают участие 8 команд. Каждая команда играет с каждой по одному разу. За выигрыш команда получает 2 очка, за ничью— 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Какая наибольшая и какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом, если известно, что первое место заняла одна команда и последнее место заняла одна команда?

Answer 1

а) Первое место заняла команда, которая выиграла все 7 матчей. Она получила 7-2=14 очков.
Последнее место заняла команда, которая проиграла всем и получила 7-0 = 0 очков.
Максимальная разница очков 14-0=14
Ответ: максимум очков — 14.

б) Минимального разрыва в 0 или 1 очко не может быть (ина­че первое или последнее место заняли больше одной команды). Посмотрим, может ли быть разрыв в 2 очка:
1-я команда: 1 победа, 0 поражений, 6 ничей:
1 -2 + 0-0 + 6- 1=8
2-я команда: 0 побед, 1 поражение, 6 ничей:
0-2 + 1 -0 + 6- 1=6
Остальные команды: 7 ничей: 0-2 + 0-0 + 7-1=7
1-я выиграла у 2-й, с остальными ничья; 2-я проиграла пер­вой, с остальными ничья, остальные команды между собой игра­ли в ничью.
Ответ: минимум 2 очка.

Answer 2

Каждая команда в течении первенства сыграет по 7 матчей.
Максимальное количество очков, которое может набрать команда победитель равно:
7 * 2 = 14 очков.
Минимальное количество очков, которое может набрать команда, занявшая последнее место равно:
7 * 0 = 0 очков.
14 − 0 = 14 очков наибольшая разница, которая может разделить команду, занявшую первое место и команду, занявшую последнее место.
Найдем минимальную разницу, которая может разделить команду, занявшую первое место и команду, занявшую последнее место.
Разница не может быть равна 0 и 1, так как тогда нарушится условие задачи, что только одна команда заняла первое место, и одна команда заняла последнее место. Проверим, может ли разница составить 2 очка.
Для того, чтобы разница составила 2 очка, необходимо, чтобы остальные 6 команд, кроме победителя и команды, занявшей последнее место, набрали одинаковое количество очков, а значит сыграли все свои матчи в ничью.
Раз 6 команд сыграли все свои игры в ничью, то у команды победителя будет 6 ничьих и у команды, занявшей последнее место, будет так же 6 ничьих. Всего в первенстве каждая команда сыграет по 7 матчей, значит в матче между командой − победителем и командой, занявшей последнее место выиграл команда победитель. Турнирная таблица тогда примет следующий вид:
1 место: 1 победа 6 ничьих 0 поражений = 1 * 2 + 6 * 1 + 0 = 2 + 6 = 8 очков.
2 − 7 место: 0 побед 7 ничьих 0 поражений = 0 + 7 * 1 + 0 = 7 очков.
8 место: 0 побед 6 ничьих 1 поражение = 0 + 6 * 1 + 0 = 6 очков.
8 − 6 = 2 очка минимальная разница, которая может разделить команду, занявшую первое место и команду, занявшую последнее место.
Ответ:
Максимальная разница = 14 очков;
Минимальная разница = 2 очка.