Question

В цилиндр вписаны шар и конус, причём высота цилиндра равна диаметру его основания.
Найти отношение объёма конуса к объёму шара, и к объёму цилиндра.

Answer 1

Решение.
Для решения задачи воспользуемся формулами нахождения объема шара, цилиндра и конуса:
Формула нахождения объема

Учтем, что по условию задачи высота цилиндра, а, соответственно и конуса, равны диаметру шара, что следует из построения согласно условию. То есть шар касается обеих оснований цилиндра в их центре. Из чего запишем:
h = 2R
Откуда
Vцилиндра = πR2h =  πR22R = 2πR3
Vшара = 4/3πR3
Vконуса = 1/3πR2h = 1/3πR22R = 2/3πR3

Таким образом, соотношение объема конуса к объему шара будет равно:
Vконуса / Vшара =  2/3πR3 / 4/3πR3 = 2/3 / 4/3 = 1/2

А соотношение объема конуса к объему цилиндра будет равно:
Vконуса / Vшара = 2/3πR3 / 2πR3 = 2/3 / 2 = 1/3

Ответ: 1/2 и 1/3