Question

В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?
в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если из-вестно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?

Answer 1

Если n человек проводят турнир и каждый играет с каждым одну партию, то будет сыграно (n∙(n - 1))/2 партий. В данной задаче каждый играет с каждым по 2 партии, поэтому будет сыграно n(n – 1) партий, а так как в каждой партии разыгрывается одно очко, то будет получено n(n – 1) очков.
а) Три девочки провели между собою 3 ∙2 = 6 партий и набрали 6 очков. Если бы они выиграли все 3∙2∙5 = 30 партий у мальчиков, то набрали бы ещё 30 очков. Тогда наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, равно 6 + 30 = 36.
б) Все 9 участников сыграют9 ∙8 =72партии и наберут 72 очка.
в) Пусть в турнире играли 1 девочка и 9 мальчиков. В лучшем случае девочка выиграет все 9∙2= 18 партий у мальчиков и наберёт 18 очков. Мальчики в играх между собою сыграют 9∙8= 72 партии и наберут 72 очка — ровно в 4 раза больше, чем сумма очков девочки, что соответствует условиям задачи. Это означает, что в турнире могла играть одна девочка.Выясним, могло ли девочек быть больше.
Пусть теперь будет 2 девочки и 18 мальчиков. В лучшем случае девочки выиграют все 2∙18∙2= 72 партии у мальчиков и наберут 72 очка. Да ещё в 2-х играх между собою девочки наберут 2 очка. Всего девочки наберут 72 + 2 = 74 очка. Мальчики в играх между собою сыграют 18∙17 =306 партий и наберут 306 очков, 306 : 74> 4, что не соответствует условиям задачи. Это означает, что в турнире не могли играть две девочки.
Дальше с увеличением числа девочек отношение числа очков, набранных мальчиками, к числу очков, набранных девочками, будет увеличиваться. Докажем это.
Пусть в турнире игралиn девочек и 9n мальчиков. В лучшем случае девочки выиграют все n∙9n∙2= 18n^2 партий у мальчиков и наберут 18n^2 очков. Да ещё в n∙(n - 1)= n^2-n партиях между собою девочки наберут n^2-n очков.  Всего они наберут 18n^2 +n^2-n = 19n^2-n очков. В этом случае мальчики в играх между собою сыграют 9n∙(9n-1) =
= 81n^2-9nпартий и наберут 81n^2-9n очков. Так как при любом n ≥ 2 (81n^2- 9n)/(19n^2- n)=(81n - 9)/(19n - 1)=(4(19n -1))/(19n - 1) +(5n -5)/(19n - 1)=4+(5n -5)/(19n - 1)> 4, то в  турнире не могли играть больше одной девочки.
Следовательно, могла быть только 1 девочка.
Ответ. а) 36; б) 72; в) 1.