Question

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Answer 1

Пусть AM=MS, SN=NC, SP=PB, AK=KB, BL=LC, AR=RC
Покажем, что все три отрезка ML, KN, PR пересекутся в одной точке. Например, покажем, что KN с ML пересекаются и делят в точке пересечения друг друга пополам. Это вытекает из того, что MNLK – параллелограмм. В этом легко убедиться, заметив, что KL – средняя линия в треугольнике ABC, MN – средняя линия в треугольнике ASC, обе они параллельны AC и равны ее половине. Аналогично можно показать, что, например, PR и ML пересекаются и делятся в точке пересечения пополам, из чего следует, что все три отрезка пересекаются в одной точке. Из треугольника KLN получаем, что KN<KL+LN=(AC+SB)/2. Из треугольника PML: ML<MP+PL=(AB+SC)/2. Из треугольника PKR: PR<KR+KP=(BC+SA)/2. Сложив почленно полученные неравенства, получим требуемое.